一様なライフゲームの統計的性質１

ライフゲームとは

ライフゲームとは２次元セルオートマトンの一つであり，生命の繁殖死滅を模したシミュレーションモデルである．自らの値cと周囲８セルを参照として，以下のように次ステップでの値c’が決定される．s2は周囲8セルでtrueの値のセルが2，s3は3であることを示す．

この法則にしたがって時間ステップを進めて行くと，下の動画のようなうねうねとした興味深い挙動を示す．赤色のセルは変化の起こっているセル，すなわち生きているセルを示しているが，それについては今後述べていく．

ライフゲームの性質は，過去によく調べられている．しかし，グライダーやブリンカーといった具体的なパターンを見つけるものが多く，統計的な性質についてはあまり知られていないようである．そこでちょっと調べてみようと思う．

一様でランダムなときの挙動

あるステップで，一様に確率pでtrueのとなるような分布をしているとき，次ステップがtrueとなる確率p’は

となる．グラフに示すと以下のようになる．

特徴的な点は次の4点である．p’が最大値をとるp=(14-sqrt(115))/9=0.364，およびp=p’となるp=0.0, 0.192, 0.370である．

もし，分布がつねに一様でランダムであり，上式にしたがってtrueのセルの密度（確率）が変化するとすると，以下のグラフのように数ステップで密度はp=0かp=0.37に漸近する．p(0)=0.192の場合のみ例外でp=0.192を保つ．

もちろん実際のライフゲームでは上記のようにはならない．そこにライフゲームというものの特徴が現れているのである．今後，実際のライフゲームがどのような性質を持っているかを統計的に議論していく．