移動一般曲線座標系での流体の支配方程式

これはもっと車輪の再発明．

PDFにしたのをこちらに置いておく．

なお，教科書であれば梶島 岳夫『乱流の数値シミュレーション』，藤井孝蔵『乱流の数値計算法』が詳しい．

移動一般曲線座標系での流体の支配方程式の導出

正規直交座標空間x_iで定義された領域V_x内での物理量φの保存式を考える．V_xは時間によって移動・変形するとする．f_jを流束，Fを湧き出しとする．φの保存式は次のように表される．

 移動一般曲線座標ξ^iへ座標変換をする．V_ξをV_xの計算空間への写像とすると，

となる．ここに，Jは座標変換のヤコビアンであり，

である．V_ξは時間によって変化しないとすると，

となる．

 (SCL)

を用いると，

 

と変形できる．これは強保存型と呼ばれる形である．

u_iを流速の正規直交座標成分（共変成分），u^G_iを計算格子の移動速度の正規直交座標成分とする．教保存型の保存式に

を代入すると，

となり，質量保存式となる．密度が一定のとき，うは以下のように書き換えられる．

流速の反変成分

を用いた場合には，

となる．

強保存型の保存式に

を代入すると，

となり，運動量保存式となる．σ_{ij}は応力テンソルであり，

である．pは圧力，μは粘性係数である．密度および粘性係数を一定とすると，上式は以下のように書き換えられる．

νは動粘性係数である．流速の反変成分U^k，格子歪みテンソル

，高さポテンシャルを含んだ圧力

を用いると，

勾配型の場合には，

となる．

同様に，スカラ保存式は，cを濃度，Dを拡散係数として，

となる．

なお，移動一般曲線座標での支配方程式はSCLおよび，

 (VCL)

が成立していれば，正規直交座標での質量保存式，運動量保存式，スカラ保存式

と等価となる．離散化された状態では，SCLおよびVCLは必ずしも成立するわけではないので注意が必要である．